Question

已知橢圓(a>b>0)拋物線(xiàn)，從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

		4		1
	2	4		2

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線(xiàn)AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積；

 

Answer 1

【答案】

(2)當(dāng)k=0(此時(shí)滿(mǎn)足①式),即直線(xiàn)AB平行于x軸時(shí)，的最小值為-2.

又直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，所以的最大值為2.

(ii).

【解析】

試題分析：

利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)（0，2），（，）代入橢圓方程，將（4，4），（1，2）代入拋物線(xiàn)方程，可得 

(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，設(shè)

聯(lián)立，得 

  ①

                  

   

=      

   

 

當(dāng)k=0(此時(shí)滿(mǎn)足①式),即直線(xiàn)AB平行于x軸時(shí)，的最小值為-2.

又直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，所以的最大值為2.  11分

(ii)設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為d，則

.   13分

考點(diǎn)：待定系數(shù)法，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，橢圓、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線(xiàn)關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了待定系數(shù)法。作為研究圖形的面積，涉及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，利用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。