Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）若bcosA-acosB=0，且a=2，∠C=

π

4

，求c的值；
（2）若

a

=(cosA，sinB)，

b

=(cosB，sinA)，

a

•

b

=1，試判斷三角形的形狀？

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)正弦定理，建立條件關(guān)系即可求c的值；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式，利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵bcosA-acosB=0，
∴由正弦定理有：sinBcosA-sinAcosB=0，
即sin（B-A）=0，
∴A=B，∴a=b=2，
∵∠C=

π

4

，
∴由余弦定理有：c=

a2+b2-2abcosC

=

8-4 2

．
（2）∵

a

=(cosA，sinB)，

b

=(cosB，sinA)，

a

•

b

=1，
∴cosAcosB+sinAsinB=1，
即cos（A-B）=1，
∵0＜A，B＜π，∴A=B，
∴△ABC為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，以及向量數(shù)量積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力．