Question

如圖，已知平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為菱形，∠BAD=60°，O是線段AD的中點，E是PB上一點，過直線AD與點E的平面與平面PBC的交線是EF．
（1）證明：AD∥EF；
（2）證明：BO⊥平面PAD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證BC∥平面ADEF，后利用線面平行性質定理得到EF∥BC，再由平行公里即可得到AD∥EF；
（2）連接BO，PO，可證AD⊥OB，再利用平面PAD⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，PO?平面PAD，PO∩AO=O，OB⊥PO，即可得證BO⊥平面PAD．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADFE，
∴BC∥平面ADEF，
∵EF=平面ADEF∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥EF．
又∵AD∥BC，
∴AD∥EF．

（2）連接BO，PO，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O是線段AD的中點，
∴AD⊥OB，
∵平面PAD⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，PO?平面PAD，PO∩AO=O，
∴OB⊥PO，
∴OB⊥平面PAD．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與直線平行，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．