已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_ST.files/image002.png">，對于任意的，都有，且當(dāng)時(shí)，，若.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證:是上的減函數(shù)；

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

 

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù) 奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

（1）運(yùn)用賦值法得到關(guān)于f(x),f(-x)的關(guān)系式，進(jìn)而得到證明。

（2）任取且,

則

又，，得到結(jié)論。

（3）

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，進(jìn)而分析得知。

(1)證明：的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_DA.files/image009.png">,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數(shù).   4分

（2）證明：任取且,

則

又，，，

即

故是上的減函數(shù).        8分

（3）解:

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；

當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_DA.files/image028.png">.      12分

 

練習(xí)冊系列答案
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（Ⅰ）證明：f（1）=0；
（Ⅱ）若f（x）+f（x-3）≤1，求x的取值范圍．

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（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對所有的θ∈[0，
π2
]均成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

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（1）求；

（2）若，且是的真子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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0

下列關(guān)于函數(shù)的命題：

①函數(shù)在上是減函數(shù)；②如果當(dāng)時(shí)，最大值是，那么的最大值為；③函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則；④已知是的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則的最大值為。

其中真命題的個(gè)數(shù)是（           ）

A、4個(gè)    B、3個(gè)  C、2個(gè)  D、1個(gè)

 

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    A．    B．  C．    D．

 

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