如圖,在三棱錐A—BCD中,AB、BC、CD兩兩垂直.
(Ⅰ)由該棱錐所有相鄰的兩個(gè)面組成的二面角中,哪些是直二面角?(要求全部寫出,并說明理由)
(Ⅱ)若AD與平面BCD所成的角為,AD與平面ABC所成的角為
,求二面角B—AD—C的余弦值;
(Ⅲ)若AD與平面BCD所成的角為α,AD與平面ABC所成的角為β,且AD=6,則當(dāng)α、β為何值時(shí),三棱錐A—BCD的體積最大,最大值是多少?
本小題考查空間線面關(guān)系與空間角的概念,考查邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力. 解:(I)∵AB⊥BC,AB⊥CD,且BC∩CD=C, ∴AB⊥平面BCD.∵AB ∴平面ABD⊥平面BCD, 同理平面ABC⊥平面BCD. ∵CD⊥BC,CD⊥AB,BC∩AB=B, ∴CD⊥平面ABC.∵CD 因此有三個(gè)直二面角:A—BD─C,A—BC─D,D─AC─B. (Ⅱ)由AB⊥平面BCD可知,∠ADB即AD與平面BCD所成的角, ∴∠ADB= 如圖,過B作BE⊥AC,垂足為E,作BF⊥AD,垂足為F.連結(jié)EF. 由(Ⅰ)知,平面ACD⊥平面ABC,∴BE⊥平面ACD. ∵BF⊥AD,由三垂線定理的逆定理可知,EF⊥AD, ∴∠BFE是二面角B─AD─C的平面角. ∵EF=AFtan ∴cos∠BFE 即二面角B─AD─C的余弦值為 (Ⅲ)∵AD=6,∠ADB=α,∠DAC=β. ∴AB=6sinα,BD=6cosα,CD=6sinβ V= �。� �。�36sinβsinα =36 ≤36 當(dāng)且僅當(dāng) 故當(dāng)α=β=arctan |
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