Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ，（λ∈R，使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題：
①函數(shù)f（x）=2x+11是倍增函數(shù)，且λ=1倍增系數(shù)；
②若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則y=f（x）至少有1個零點；
③函數(shù)f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）．
其中為真命題的是

②③

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：由f（x）=2x+11是倍增函數(shù)，知2（x+λ）+11=λ（2x+11），故由λ=

2x+11

2x+9

≠1，知①不正確；函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，知f（x-1）=-f（x），由此得到y(tǒng)=f（x）至少有1個零點；由f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，得到λ=

1

eλ

∈（0，1）．

解答：解：∵f（x）=2x+11是倍增函數(shù)，
∴2（x+λ）+11=λ（2x+11），
∴λ=

2x+11

2x+9

≠1，故①不正確；
∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，
∴f（x-1）=-f（x），
當(dāng)x=0時，f（-1）+f（0）=0，
若f（0），f（-1）任一個為0，函數(shù)f（x）有零點．
若f（0），f（-1）均不為零，則f（0），f（-1）異號，
由零點存在定理，在（-1，0）區(qū)間存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1個零點，故②正確；
∵f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

ex•eλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意新定義的合理運用，合理地地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．