【題目】已知函數(shù),
(
).
(1)若曲線在
處的切線也是曲線
的切線,求
的值;
(2)記,設(shè)
是函數(shù)
的兩個極值點,且
.
① 若恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
② 判斷函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由.
【答案】(1);(2)①
;②函數(shù)
有且僅有1個零點,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得曲線在
處的切線方程,再聯(lián)立切線與
,利用判別式為0解決相切問題即可.
(2) ①易得,再求導根據(jù)韋達定理可知極值點滿足
,再求解化簡
,構(gòu)造出函數(shù)
,求導分析函數(shù)
的單調(diào)性,進而求得
的最小值即可.
②根據(jù)①中的單調(diào)性以及極值點可知
,且
,代入
分析可知
,再根據(jù)零點存在性定理判定
,使得
即可知有1個零點.
(1)當時,
,又
,所以
,則曲線
在
處的切線方程為
.
由得
,因為
也是曲線
的切線,所以
,
解之得.
(2)①因為,所以
,
由得
,所以
則
.
因為,所以
解得
.
所以
.
設(shè),則
,
所以在
上單調(diào)遞減,當
時,
,
所以,即所求
的取值范圍為
.
② 由①知當時,
,
單調(diào)遞增,當
時,
,
單調(diào)遞減,當
時,
,
單調(diào)遞增.
又,且由①知
,
所以,
又,所以
,
,則
,
所以當時,
,
單調(diào)遞減,
所以當時,
,則當
時,
沒有零點.
因為,
,
,
又在
上單調(diào)遞增,且圖像連續(xù)不間斷,所以
,使得
.
綜上所述,函數(shù)有且僅有1個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,已知橢圓
,若圓
的一條切線與橢圓
有兩個交點
,且
.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點為
,點
在圓
上,直線
與橢圓
相交于另一點
,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為
,且過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線
與
交于
兩點,且直線
與直線
的斜率之和為
,證明:直線
的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙三個組的老年人數(shù)分別為30,30,24.現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取14人,進行身體狀況調(diào)查.
(1)應從甲、乙、丙三個小組各抽取多少人?
(2)若抽出的14人中,10人身體狀況良好,還有4人有不同程度的狀況要進行治療,現(xiàn)從這14人中,再抽3人進一步了解情況,用表示抽取的3人中,身體狀況良好的人數(shù),求
的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α∈[0,π).以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=ρcosθ+2,
(1)若,求直線的極坐標方程
(2)若直線與曲線C有唯一公共點,求α
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