Question

已知展開式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．則（1）n=    ；（2）展開式的一次項(xiàng)是    ；（3）展開式中的有理項(xiàng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的特性列出關(guān)于n的方程，求出n的值，然后寫出通項(xiàng)公式并進(jìn)行化簡(jiǎn)，令字母的指數(shù)符合所需要的條件，從而確定特定項(xiàng)．
解答：解：（1）∵展開式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，
∴+=2×，
∴1+×=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍去），n₂=8，
∴n=8．
（2）∵T_r+1=×=，
∴令4-r=1得r=4．
∴T₅=x=×x=x，
∴展開式的一次項(xiàng)是x．
（3）當(dāng)令4-r∈Z時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，因?yàn)?≤r≤8且r∈Z，
所以r=0，4，8符合要求．
故有理項(xiàng)有3項(xiàng)，分別是T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．
故答案為（1）8；（2）x；（3）x⁴，x，x^-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．