Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）部分圖象如圖所示．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（x-

π

4

）+1，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)的最值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的最大值求得A，再由函數(shù)的周期性求得ω，再把（0，-1）代入函數(shù)的解析式可得φ 的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）由于 g（x）=f（x-

π

4

）+1=sin[2（x-

π

4

）-

π

2

]-1=-sin2x-1，故本題即求函數(shù)y=sin2x的減區(qū)間．令 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由于 x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最值．

解答：解：（1）由函數(shù)的最大值為1可得A=1，再由函數(shù)的周期性可得

1

4

•

2π

ω

=

π

2

-

π

4

，解得ω=2．
再把（0，-1）代入函數(shù)的解析式可得-1=sin（2×0+φ），∴φ=2kπ-

π

2

，k∈z．
再由|φ|＜π，可得 φ=-

π

2

，故函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（2x-

π

2

）．
（2）∵g（x）=f（x-

π

4

）+1=sin[2（x-

π

4

）-

π

2

]-1=sin（2x-π）-1=-sin2x-1，故本題即求函數(shù)y=sin2x的減區(qū)間．
令 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得  kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈z，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈z．
（3）由于 x∈[0，

π

4

]，∴2x∈[0，

π

2

]，sin2x∈[0，1]，-sin2x∈[-1 0]，∴-sin2x-1∈[-3，-1]，
故f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]內(nèi)的最大值為-1，最小值為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．