已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(ω>0,|φ|<π)部分圖象如圖所示.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=f(x-
π
4
)+1,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求f(x)在區(qū)間[0,
π
4
]內(nèi)的最值.
分析:(1)由函數(shù)的最大值求得A,再由函數(shù)的周期性求得ω,再把(0,-1)代入函數(shù)的解析式可得φ 的值,從而求得函數(shù)的解析式.
(2)由于 g(x)=f(x-
π
4
)+1=sin[2(x-
π
4
)-
π
2
]-1=-sin2x-1,故本題即求函數(shù)y=sin2x的減區(qū)間.令 2kπ+
π
2
≤2x≤2kπ+
2
,k∈z,求得x的范圍,即可求得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(3)由于 x∈[0,
π
4
],再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得f(x)的最值.
解答:解:(1)由函數(shù)的最大值為1可得A=1,再由函數(shù)的周期性可得
1
4
ω
=
π
2
-
π
4
,解得ω=2.
再把(0,-1)代入函數(shù)的解析式可得-1=sin(2×0+φ),∴φ=2kπ-
π
2
,k∈z.
再由|φ|<π,可得 φ=-
π
2
,故函數(shù)的解析式為 f(x)=sin(2x-
π
2
).
(2)∵g(x)=f(x-
π
4
)+1=sin[2(x-
π
4
)-
π
2
]-1=sin(2x-π)-1=-sin2x-1,故本題即求函數(shù)y=sin2x的減區(qū)間.
令 2kπ+
π
2
≤2x≤2kπ+
2
,k∈z,解得  kπ+
π
4
≤x≤kπ+
4
,k∈z,
故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+
π
4
,kπ+
4
],k∈z.
(3)由于 x∈[0,
π
4
],∴2x∈[0,
π
2
],sin2x∈[0,1],-sin2x∈[-1 0],∴-sin2x-1∈[-3,-1],
故f(x)在區(qū)間[0,
π
4
]內(nèi)的最大值為-1,最小值為-3.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式,求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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34
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