已知A(1,)是離心率為的橢圓E:+=1(a>b>0)上的一點,過A作兩條直線交橢圓于B、C兩點,若直線AB、AC的傾斜角互補.
(1)求橢圓E的方程;
(2)試證明直線BC的斜率為定值,并求出這個定值;
(3)△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值?若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)利用A(1,)是離心率為的橢圓E:+=1(a>b>0)上的一點,建立方程,求出幾何量,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,確定B,C的坐標(biāo),即可求出直線BC的斜率為定值;
(3)設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達定理,確定三角形的面積,利用基本不等式,即可求得結(jié)論.
解答:(1)解:∵橢圓的離心率為,∴,∴a2=2b2
∴橢圓方程為
∵A(1,)是橢圓上的點,

∴b2=2
∴橢圓方程為;
(2)證明:設(shè)直線AB的方程為,代入橢圓方程可得(k2+2)x2-x+()=0,∵x=1是方程的一個實根,
∴由韋達定理得,1+xB=,故xB=,
=,
∴B(,),
∵AB、AC的傾斜角互補,故其斜率互為相反數(shù),用-k代替k可得
C(,),∴==
(3)解:設(shè)BC的方程為y=x+m,由可得
設(shè)方程的兩根為x1,x2,于是|BC|==,
又A(1,)到直線BC的距離為d=
==,
當(dāng)且僅當(dāng)m2=4時等號成立,故△ABC的面積的最大值為
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,考查三角形面積的計算,屬于中檔題.
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