設函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的有極值點，求的取值范圍及的極值點；

（3）求證對任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

       （2）當且僅當時有極值點；當時，有唯一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點    

     （3）證明見解析。


解析:

（1）由題意知，的定義域為，

     …… 1分

當時， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．   …… 2分

（2）①由（Ⅰ）得，當時，函數(shù)無極值點．

………3分

②當時，有兩個不同解，

時，，

此時，隨在定義域上的變化情況如下表：

減

極小值

增

由此表可知：時，有唯一極小值點，   …… 5分

ii)   當時，0＜＜1 此時，，隨的變化情況如下表：

增

極大值

減

極小值

增

由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；綜上所述：當且僅當時有極值點；當時，有唯一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點       …… 8分

（3）由(2)可知當時，函數(shù)，

此時有唯一極小值點

且          …… 9分

                 

…… 11分

令函數(shù) …… 12分

    …… 14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)，其中為常數(shù)。

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點，求的取值范圍及的極值點。

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山西省高三第一學期8月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)，其中為常數(shù)。

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點，求的取值范圍及的極值點。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山西省高三第一學期8月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設函數(shù)，其中為常數(shù)。

（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有極值點，求的取值范圍及的極值點。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江西省高三10月月考文科數(shù)學卷 題型：解答題

設函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）證明：對任意，的圖象恒過定點；

（2）當時，判斷函數(shù)是否存在極值？若存在，證明你的結論并求出所有

極值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省高三上學期10月月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）20. （14分）設函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的有極值點，求的取值范圍及的極值點；

（3）求證對任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

 

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