Question

 已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率e=,M、N是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)在軸上的射影為，連接 并延長交橢圓于點(diǎn)，證明：；

Answer 1

 解：（Ⅰ）由題知：故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（Ⅱ）設(shè)，由可得：

……由直線OM與ON的斜率之積為可得：

 ，即………

 由①②可得：

     M、N是橢圓上，故 故，即…

    由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離和為定值;

（Ⅲ）設(shè)由題知

由題設(shè)可知斜率存在且滿足…….③

  ……  將③代入④可得：

……⑤… 點(diǎn)在橢圓，故

     所以…