Question

已知平面上兩定點C（-1，0），D（1，0）和一定直線l：x=-4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(

PQ

+2

PC

)•(

PQ

-2

PC

)=0．
（1）問點P在什么曲線上，并求出曲線的軌跡方程M；
（2）又已知點A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，直線DA與曲線M的交點B不在y軸的右側(cè)，且點B不在x軸上，并滿足

AB

=2

DA

，求p的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得|

PQ

|=2|

PC

|．法一：轉(zhuǎn)化為到定點的距離和到定直線的距離問題即橢圓定義，就可求出點P所在曲線以及曲線的軌跡方程M；
法二：直接設出點P的坐標，代入整理即可求出點P所在曲線以及曲線的軌跡方程M；
（2）先把點B的坐標設出來，利用

AB

=2

DA

求出點A的坐標，再利用點A為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，求出p和點B的坐標之間的關系，最后利用點B所在位置的限制求出p的最小值即可．

解答：解：（1）由(

PQ

+2

PC

)(

PQ

-2

PC

)=0．得|

PQ

|=2|

PC

|．
法一：動點P到定點C（-1，0）的距離與到定直線l：x=-4的距離之比為常數(shù)，
所以點P在橢圓上．
由

e= c a = 1 2 a2 c -c= b2 c =3

?a=2，b=

3

，c=1．
所以所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
法二：設P（x，y）代入|

PQ

|=2|

PC

|．得點P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）橢圓的右焦點為D（1，0），點B在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1（-2＜x≤0）上，設B（x₀，y₀），其中-2＜x₀≤0
由

AB

=2

DA

，知xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由點A在拋物線y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y 2 ^

3

=1-

x 2 0

4

，∴8p=

4- x 2 0

x0+2

．
令t=x₀+2，則0＜t≤2，
即8p=

-t2+4t

t

=-t+4，∵0＜t≤2∴當t=2時p最小
∴p=

1

4

，又當t=2時，x0=0為橢圓與y軸的交點．
故p的最小值為

1

4

點評：本題綜合考查了橢圓的定義，直線與拋物線的位置關系以及向量共線問題．是一道綜合性很強的好題．