本題考查平面與平面垂直的證明,求實數(shù)的取值.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,合理地運用向量法進(jìn)行解題.
(Ⅰ)法一:由AD∥BC,BC=
AD,Q為AD的中點,知四邊形BCDQ為平行四邊形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知QB⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,知BQ⊥平面PAD.由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD.
法二:由AD∥BC,BC=
AD,Q為AD的中點,知四邊形BCDQ為平行四邊形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由PA=PD,知PQ⊥AD,故AD⊥平面PBQ.由此證明平面PQB⊥平面PAD.
(Ⅱ)由PA=PD,Q為AD的中點,知PQ⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,知PQ⊥平面ABCD.以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能夠求出t=3.
解:(I)方法一∵AD // BC,BC=
AD,Q為AD的中點,∴四邊形BCDQ為平行四邊形,∴CD // BQ .
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又
∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.∵BQ
平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………6分
方法二:AD // BC,BC=
AD,Q為AD的中點, ∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. ∵ AD
平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.…………6分
(II)∵PA=PD,Q為AD的中點, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如圖,以Q為原點建立空間直角坐標(biāo)系.
則平面BQC的法向量為
;
,
,
,
.
設(shè)
,則
,
,
∵
,
∴
,
∴
………………9分
在平面MBQ中,
,
,
∴ 平面MBQ法向量為
.
∵二面角M-BQ-C為30°,
,
∴
. …………………………12分