Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)a＞2時(shí)，在（0，+∞）上恰有一個(gè)x₀使得g（x₀）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x+1，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），得到g'（x）=e^x（x-a+2），從而函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，
再代入特殊值進(jìn)而證得結(jié)論成立；

解答： （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x，
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＜0；當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＞0，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-∞，0）；增區(qū)間是（0，+∞），
（2）證明：g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），
∴g'（x）=e^x（x-a+2），
當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，x＜a-2；當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，x＞a-2
∵a＞2，
∴函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，
又∵g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
∴在（0，+∞）上恰有一個(gè)x₀使得g（x₀）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的問題，是一道基礎(chǔ)題．