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已知曲線，點是曲線上的點（n=1,2,…）.

（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；

（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求點的坐標；

（3）設與為兩個給定的不同的正整數，與是滿足（2）中條件的點的坐標，

證明：

．解：（1），設切線的斜率為，則

       

∴曲線在點處的切線的方程為：

又∵點在曲線上, ∴

∴曲線在點處的切線的方程為：即

令得，∴曲線在軸上的交點的坐標為

（2）原點到直線的距離與線段的長度之比為：

    

當且僅當即時，取等號。此時，

故點的坐標為

（3）證法一：要證

只要證

只要證

，又

所以：

證法二：由上知，只需證，

又，故只需證，可用數學歸納法證明之

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測試（二）理科數學試卷（解析版） 題型：填空題

在極坐標系中，已知點，點是曲線上任意一點，設點到直線的距離為，則的最小值為      ．

 

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科目：高中數學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）文科數學全解全析 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知曲線，點是曲線上的點.

（1）試寫出曲線在點處的切線的方程，并求出與軸的交點的坐標；

（2）若原點到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求試點的坐標；

（3）設與為兩個給定的不同的正整數，與是滿足（2）中條件的點的坐標，

證明：

 

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年高考模擬數學專題：壓軸大題（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲線上的點Q（x，y），且x1＜x＜x2，使得曲線在點Q處的切線?∥P1P2，則稱?為弦P1P2的伴隨切線．特別地，當x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1）時，又稱?為P1P2的λ-伴隨切線．
（�。┣笞C：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2010年山東省濰坊市高考數學模擬試卷A（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲線上的點Q（x，y），且x1＜x＜x2，使得曲線在點Q處的切線?∥P1P2，則稱?為弦P1P2的伴隨切線．特別地，當x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1）時，又稱?為P1P2的λ-伴隨切線．
（�。┣笞C：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

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