Question

根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率p與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式p=

2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* x2+60 540 ，10≤x≤20，x∈N*

（日產(chǎn)品廢品率=

日廢品量

日產(chǎn)量

×100%）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤y=日正品贏利額-日廢品虧損額）
（1）將該車間日利潤y（千元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可知y=2x（1-p）-px，然后把p代入即可．
（2）由于所得函數(shù)是分段函數(shù)，需要分段討論，利用導(dǎo)數(shù)來求最值，最后確定最大日利潤．

解答： 解：（1）由題意可知，y=2x(1-p)-px=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20，x∈N*.

…（4分）
（2）考慮函數(shù)f(x)=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20

當(dāng)1≤x≤9時，f′(x)=2-

90

(15-x)2

，令f'（x）=0，得x=15-3

5

．…（6分）
當(dāng)1≤x＜15-3

5

時，2B，函數(shù)f（x）在[1，15-3

5

)上單調(diào)增；
當(dāng)15-3

5

＜x≤9時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在(15-3

5

，9]上單調(diào)減．
所以當(dāng)x=15-3

5

時，a取得極大值，也是最大值，
又x是整數(shù)，f(8)=

64

7

，f（9）=9，所以當(dāng)x=8時，f（x）有最大值

64

7

．…（10分）
當(dāng)10≤x≤20時，f′(x)=

5

3

-

x2

60

=

100-x2

60

≤0，所以函數(shù)f（x）在[10，20]上單調(diào)減，
所以當(dāng)x=10時，f（x）取得極大值

100

9

，也是最大值．
由于

100

9

＞

64

7

，所以當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時，日利潤最大．…（12分）
答：當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時，日利潤最大，最大日利潤是

100

9

千元．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求半月區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中分析題意，求出滿足條件的函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．