Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有．

（1）求，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)．

 

Answer 1

(1) ， ；(2) .

【解析】

試題分析：（1）令，根據(jù)算得,再根據(jù)是正整數(shù)，算得.

當(dāng)時(shí),同樣根據(jù),將代入，得到的范圍，根據(jù)是正整數(shù)，求得.

(2）先根據(jù)可猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

試題解析：【解析】
（1）據(jù)條件得 ①

當(dāng)時(shí)，由，即有，

解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720123113577268/SYS201411172012409329546154_DA/SYS201411172012409329546154_DA.020.png">為正整數(shù)，故．

當(dāng)時(shí)，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720123113577268/SYS201411172012409329546154_DA/SYS201411172012409329546154_DA.038.png">時(shí)，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時(shí)，成立．

由1，2知，對(duì)任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；

2假設(shè)成立，則，則時(shí)

由①得

即②

由②左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，

則．于是③

又由②右式，．

則．

因?yàn)閮啥藶檎�整�?shù)，則，

所以．

又因時(shí)，為正整數(shù)，則④

據(jù)③④，即時(shí)，成立．

由1，2知，對(duì)任意，．

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推公式；2.數(shù)學(xué)歸納法.