Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=3，前n項和為S_n，且S_n+1=3S_n+2n（n∈N）．記T_n為數(shù)列{a_n+1}前n項和，求

Tn+ 1 2

Tn+2n

的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：由數(shù)列遞推式S_n+1=3S_n+2n得到a_n+1=2S_n+2n，取n=n-1（n≥2）得到另一遞推式，作差后得到從第二項開始，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．由等比數(shù)列的求和公式求出其前n項和，代入

Tn+ 1 2

Tn+2n

整理后可求最小值．

解答： 解：由S_n+1=3S_n+2n，得
S_n+1-S_n=2S_n+2n，
a_n+1=2S_n+2n   ①
∴a_n=2S_n-1+2（n-1）（n≥2）②
①-②得：a_n+1-a_n=2a_n+2 （n≥2），
a_n+1=3a_n+2 （n≥2），
a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）．
∴從第二項開始，數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
在S_n+1=3S_n+2n中，令n=1，得
S₂=3S₁+2=3a₁+2=3×3+2=11，
a₂=S₂-a₁=11-3=8，
a₁+1=4，a₂+1=9，
a₂+1不是a₁+1的3倍．
∴{a_n+1}從第二項起是等比數(shù)列．
則Tn=4+

9(1-3n-1)

1-3

=

1

2

(3n+1-1)．
∴

Tn+ 1 2

Tn+2n

=

3n+1 2

3n+1 2 +2n- 1 2

=

3n+1

3n+1+2n+1-1

=

1

1+( 2 3 )n+1-( 1 3 )n+1

．
由指數(shù)函數(shù)y=(

2

3

)x與y=(

1

3

)x的圖象可知，
當n逐漸增大時，(

2

3

)n+1-(

1

3

)n+1大于0逐漸減小，
∴只有當n=1時，

Tn+ 1 2

Tn+2n

取最小值

32

32+22-1

=

3

4

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，關鍵是由遞推式構造出等比數(shù)列，考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是有一定難度題目．