分析 (Ⅰ)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知列關(guān)于a,b,r的方程組求解方程組可得a,b,r的值,則圓C的方程可求;
(Ⅱ)(i)直接利用切割線定理求得→AM•→AN的值;
(ii)依題意可知,直線l的方程為y=kx+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),把y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B的橫坐標(biāo)的和與積,代入→OM•→ON=12求得k值,從而求得直線l的方程.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
則依題意,得{(2−a)2+(4−b)2=r2(1−a)2+(3−b)2=r2a−b+1=0,解得{a=2b=3r=1.
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1;
(Ⅱ)(i)→AM•→AN為定值.
過(guò)點(diǎn)A(0,1)作直線AT與圓C相切,切點(diǎn)為T,則AT2=7,
∴\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{AN}|cos0°=A{T^2}=7,∴\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}為定值,且定值為7;
(ii)依題意可知,直線l的方程為y=kx+1,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
將y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
∴{x_1}+{x_2}=\frac{{4(1+{k^2})}}{{1+{k^2}}},{x_1}+{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}},
∴\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=x1x2+y1y2=(1+{k^2}){x_1}{x_2}+k({x_1}+{x_2})+1=\frac{4k(1+k)}{{1+{k^2}}}+8=12,
即\frac{4k(1+k)}{{1+{k^2}}}=4,解得k=1,
又當(dāng)k=1時(shí)△>0,∴k=1,
∴直線l的方程為y=x+1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程,考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.
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A. | 4+\sqrt{2}+\sqrt{6} | B. | 3+\sqrt{2}+\sqrt{3} | C. | 2+\sqrt{2} | D. | 3+\sqrt{3} |
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學(xué)生序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
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A. | 5 | B. | 16 | C. | 5或32 | D. | 4或5或32 |
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A. | \frac{5}{6} | B. | \frac{4}{5} | C. | \frac{6}{7} | D. | \frac{7}{8} |
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