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4.已知圓C經(jīng)過(2,4)、(1,3),圓心C在直線x-y+1=0上,過點A(0,1),且斜率為k的直線l交圓相交于M、N兩點.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)(i)請問AMAN是否為定值.若是,請求出該定值,若不是,請說明理由;
(ii)若O為坐標原點,且OMON=12,求直線l的方程.

分析 (Ⅰ)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知列關(guān)于a,b,r的方程組求解方程組可得a,b,r的值,則圓C的方程可求;
(Ⅱ)(i)直接利用切割線定理求得AMAN的值;
(ii)依題意可知,直線l的方程為y=kx+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),把y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B的橫坐標的和與積,代入OMON=12求得k值,從而求得直線l的方程.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
則依題意,得{2a2+4b2=r21a2+3b2=r2ab+1=0,解得{a=2b=3r=1
∴圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1;
(Ⅱ)(i)AMAN為定值.
過點A(0,1)作直線AT與圓C相切,切點為T,則AT2=7,
\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{AN}|cos0°=A{T^2}=7,∴\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}為定值,且定值為7;
(ii)依題意可知,直線l的方程為y=kx+1,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
將y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1并整理得:(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
{x_1}+{x_2}=\frac{{4(1+{k^2})}}{{1+{k^2}}}{x_1}+{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}},
\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=x1x2+y1y2=(1+{k^2}){x_1}{x_2}+k({x_1}+{x_2})+1=\frac{4k(1+k)}{{1+{k^2}}}+8=12,
\frac{4k(1+k)}{{1+{k^2}}}=4,解得k=1,
又當k=1時△>0,∴k=1,
∴直線l的方程為y=x+1.

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程,考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.

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物理偏差y6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5
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(2)若這次考試該班數(shù)學平均分為118分,物理平均分為90.5,試預(yù)測數(shù)學成績126分的同學的物理成績.
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