Question

【題目】已知函數f（x）= sin2x+2cos2x+m（0≤x≤ ）．
（1）若函數f（x）的最大值為6，求常數m的值；
（2）若函數f（x）有兩個零點x1和x2 ， 求m的取值范圍，并求x1和x2的值；
（3）在（1）的條件下，若g（x）=（t﹣1）f（x）﹣ （t≥2），討論函數g（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，

=

∵ ，∴ ，則 ，

∴ 時，f（x）最大=2×1+1+m=6，

解得m=3

（2）解：令 ，∵ ，∴ ，

函數f（x）在 上有兩個零點x1，x2方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解．

即函數y=2sinz與y=﹣m﹣1在 上有兩個交點，

由圖象可知 ，解得﹣3＜m≤﹣2

由圖象可知 ，∴ ，

解得

（3）解：在（1）的條件下， ，

且 ，則 ，

當t≥2時，（t﹣1）f（x）≥3（當t=2且 時取等號） ，

∵ ，∴ ，

（當 時取等號）

所以當t=2時，函數 有一個零點

當t＞2時，（t﹣1）f（x）＞3 恒成立，

函數 沒有零點

【解析】（1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出 的范圍，由正弦函數的最大值和條件列出方程，求出m的值；（2）由x的范圍求出z= 的范圍，將函數f（x）有兩個零點轉化為：方程2sinz=﹣1﹣m在 上有兩解，再轉化為兩個函數圖象有兩個交點，由正弦函數的圖象列出不等式，求出m的范圍，由正弦函數的圖象和對稱性求出x1與x2的和；（3）由（1）求出f（x）的最小值，求出當t≥2時（t﹣1）f（x）的范圍，利用商的關系、兩角差的正切公式化簡 ，由x的范圍、正切函數的性質求出 范圍，即可判斷出函數g（x）的零點個數．