Question

如圖所示，A、F分別是橢圓＝1的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)，位于x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)T（t，0）與F的連線交射影OA于Q．求：

（1）點(diǎn)A、F的坐標(biāo)及直線TQ的方程；

（2）△OTQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=f（t）及其函數(shù)的最小值；

（3）寫出S=f（t）的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明之．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1） 當(dāng)t＞0且t≠1時(shí)，TQ的方程為y=； 當(dāng)t=1時(shí)，TQ的方程為x=1. （2）聯(lián)立直線OA和直線TQ的方程； 或 得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yQ＝，yQ＝3， ∵t＞0，且yQ＞1，∴t＞， ∴f（t）＝ ∴f（t）=， ∵t＞，∴3t－2＞0，∴f（t）≥（2＋4）＝， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)等號(hào)成立，即t=時(shí)，S=f（t）的最小值為． （3）f（t）=在區(qū)間（，＋∞）上為增函數(shù)． 證明：任取t1、t2∈（，＋∞），不妨設(shè)t2＞t1＞． f（t1）－f（t2）＝（3t1－2+＋4）－（3t2－2＋＋4） ＝（t1－t2）［1－］ ＝（t1－t2） ∵t2＞t1＞，∴t1－t2＜0，（3t1－2）（3t2－2）＞4，∴f（t1）＜f（t2）． ∴S＝f（t）在（，＋∞）上為增函數(shù)．