Question

已知f(x)=

1

2

x2+4lnx-5x，f′（x）是f（x）的導數．
（Ⅰ）求y=f（x）的極值；
（Ⅱ）求f′（x）與f（x）單調性相同的區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由導數運算法則知，f′(x)=x+

4

x

-5=

(x-1)(x-4)

x

，再利用導數與單調性關系求出極值即可；
（Ⅱ）求出函數f′（x）的導函數，在定義域下令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間．
再結合（I）即可得到f′（x）與f（x）單調性相同的區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2+4lnx-5x，∴f′(x)=x+

4

x

-5=

(x-1)(x-4)

x

（x＞0），
由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞4，由f'（x）＜0得，1＜x＜4．當x變化時，f'（x）、f（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的極大值f(x)極大=f(1)=-

9

2

，f（x）的極小值f（x）_極小=f（4）=8ln2-12．…6分
（Ⅱ）設g(x)=x+

4

x

-5(x＞0)，∴g′(x)=

(x+2)(x-2)

x

，
由g'（x）＞0得，x＞2，g（x）為增函數，由g'（x）＜0得，0＜x＜2，g（x）為減函數．
再結合（Ⅰ）可知：f'（x）與f（x）的相同減區(qū)間為[1，2]，相同的增區(qū)間是[4，+∞）…12分．

點評：本題主要考查導數與函數單調性的關系，會熟練運用導數解決函數的極值問題．求函數的單調區(qū)間，應該先求出函數的導函數，令導函數大于0得到函數的遞增區(qū)間，令導函數小于0得到函數的遞減區(qū)間．