Question

已知函數(shù)f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥0恒成立，證明：x₁＜x₂時(shí)，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞2（e x1-1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），對(duì)a分類討論即可得出其單調(diào)性；
（2）通過對(duì)a分類討論，得到當(dāng)a=2，滿足條件且e^x-1≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取“=”．利用此結(jié)論即可證明．

解答： 解：（1）f′（x）=2e^x-a．
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，ln

a

2

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln

a

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（2）證明：由（Ⅰ）知若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，又f（0）=0，故f（x）≥0不恒成立．
若a＞0，則由f（x）≥0=f（0）知0應(yīng)為極小值點(diǎn)，即ln

a

2

=0，
所以a=2，且e^x-1≥x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取“=”．
當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₂）-f（x₁）=2（e^x2-e^x1）-2（x₂-x₁）
=2e^x1（e^x2-x1-1）-2 （x₂-x₁）
≥2e^x1（x₂-x₁）-2（x₂-x₁）
=2（e^x1-1）（x₂-x₁），
所以

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞2（e^x1-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，對(duì)能力要求較高，屬于中檔題．