Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC上，且不與點C重合， (1)當(dāng)CF=1時，求證：EF⊥A₁C；
(2)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

解：過E作EN⊥AC于N，連結(jié)EF， (1)如圖1，連結(jié)NF、AC1， 由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面A1C， 又底面ABC∩側(cè)面A1C=AC，EN底面ABC， 所以EN⊥側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影， 在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1， 則由，得NF∥AC1， 又AC1⊥A1C， 故NF⊥A1C， 由三垂線定理知EF⊥A1C。
(2)如圖2，連結(jié)AF，過N作NM⊥AF于M，連結(jié)ME， 由(1)知EN⊥側(cè)面A1C， 根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF， 所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ， 設(shè)∠FAC=α，則0°＜α≤45°， 在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=， 在Rt△AMN中，MN=AN·sinα-3sinα， 故， 又0°＜α≤45°， ∴， 故當(dāng)， 即當(dāng)α=45°時，tanθ達到最小值， ，此時F與C1重合．