Question

（09年山東實驗中學診斷三理）（13分）已知橢圓的上、下焦點分別為，點為坐標平面的動點，滿足

（1）求動點的軌跡的方方程；

（2）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，求直線的方程；

（3）在直線上是否存在點，過該點的坐標：若不存在。試說明理由

Answer 1

解析：（1）因為為橢圓的上、下焦點，所以設。

所以 

因為  

所以，整理可得

所以所求動點的軌跡的方程為

（2）（法一）設過點所作曲線的切線的斜率為，則切線方程為

由 可得：

，所以或

過點所作曲線的切線方程為和

由和可分別解得：和

所以直線的方程的方程為：

（法二）設過點所作曲線的兩切線的切點為，

   則   記  則，

則兩條切線的方程為

即

和

即：

因為兩條切線均經過點，所以且

所以  直線的方程的方程為：

（3）若存在，不妨設其坐標為，過點所作曲線的切線斜率為，

則切線方程為，即

由可得：

因為直線和拋物線相切，所以

設兩條切線的斜率分別為，則

因為   所以

所以  兩條切線垂直  所以所以

所以   在直線上是存在點滿足題意。