Question

已知

a

=(cosx，2

3

cosx)，

b

=(2cosx，sinx)，且f（x）=

a

•

b

．
（I）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若（a+2c）cosB=-bcosA成立，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+1，從而求得它的周期．再由
2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-

1

2

，B=

2π

3

 得到 f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1，根據(jù)A的范圍，
求出 2A+

π

6

 的范圍，可得sin（2A+

π

6

）的范圍，從而求得f（A）的取值范圍．

解答：解：（I）f（x）=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx=2sin（2x+

π

6

）+1，故函數(shù)的周期為π．
令  2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-

1

2

，B=

2π

3

，∴f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1．
由于 0＜A＜

π

3

，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

5π

6

，＜

1

2

sin（2A+

π

6

）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范圍為（2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．