Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上且AG=

1

3

Gd′，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)，四面體P-BCG的體積為

8

3

．
（1）求過(guò)點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；
（2）求直線DP與平面PBG所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先利用四面體的體積公式求出PG的長(zhǎng)，再以GP，GB，GC構(gòu)造長(zhǎng)方體，外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出R，進(jìn)一步確定表面積．
（2）先做出直線與平面的夾角進(jìn)一步求出結(jié)果．

解答： 解：（1）四棱錐P-ABCD中，PG⊥平面ABCD
∵四面體P-BCG的體積為

8

3

．
∴

1

3

•

1

2

BG•GC•PG=

8

3

∵GB=GC=2，
解得：PG=4
以GP，GB，GC構(gòu)造長(zhǎng)方體，外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，
所以：（2R）²=16+4+4
解得：R=

6

S=4πR²=24π
（2）由GB=GC=2
∴△BGC為等腰三角形，
GE為∠BGC的角平分線，作DK⊥BG交BG的延長(zhǎng)線于K，
∴DK⊥平面BGP．
由平面幾何知識(shí)可知：DK=GK=

3

2

，PD=

41 2

設(shè)直線DP與平面PBG所成角為α
∴sinα=

DK

DP

=

3 82

82

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：幾何體的體積公式和表面積公式的應(yīng)用，線面夾角的應(yīng)用．