Question

已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)滿足．

(Ⅰ)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意，都存在x₀∈(m，n)，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)－x＝0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(Ⅲ)對(duì)任意f(x)∈M，且x∈(a，b)，求證：對(duì)于f(x)定義域中任意的x₁，x₂，x₃，當(dāng)，且時(shí)，．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，， 　　所以方程有實(shí)數(shù)根0； 　　②， 　　所以，滿足條件； 　　由①②，函數(shù)是集合中的元素　　5分 　　(Ⅱ)假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，， 　　則，． 　　不妨設(shè)，根據(jù)題意存在， 　　滿足． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4926/0020/a330b32e39d8b49cdc09acc9c520dbde/C/Image263.gif" width=65 height=21>，，且，所以． 　　與已知矛盾．又有實(shí)數(shù)根， 　　所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根　　10分 　　(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立； 　　當(dāng)，不妨設(shè)． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4926/0020/a330b32e39d8b49cdc09acc9c520dbde/C/Image272.gif" width=64 HEIGHT=26>，且所以為增函數(shù)，那么． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4926/0020/a330b32e39d8b49cdc09acc9c520dbde/C/Image276.gif" width=84 height=21>，所以函數(shù)為減函數(shù)， 　　所以． 　　所以，即． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4926/0020/a330b32e39d8b49cdc09acc9c520dbde/C/Image246.gif" width=74 height=26>，所以　(1) 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4926/0020/a330b32e39d8b49cdc09acc9c520dbde/C/Image247.gif" width=74 height=26>，所以　(2) 　　(1)(2)得即． 　　所以． 　　綜上，對(duì)于任意符合條件的，總有成立　　14分