Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”。已知當x＞2時，點P（x，0）存在無窮多條“相關弦”。給定x₀＞2。
（1）證明：點P（x₀，0）的所有“相關弦”中的中點的橫坐標相同；
（2）試問：點P（x₀，0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設AB為點的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是

則
兩式相減得
因為x₁≠x₂
所以y₁+y₂≠0
設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是，則

從而AB的垂直平分線l的方程為
又點P（x₀，0）在直線上，
所以
而于是
故點P（x₀，0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x₀-2；
（2）由（1）知，弦AB所在直線的方程是，代入中
整理得  （·）
則是方程（·）的兩個實根，且
設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則





因為
于是設t=，則t∈（0，4x₀-8）
記
若，則
所以當，即=2（x₀-3）時，l有最大值
若，則，在區(qū)間上是減函數(shù)
所以，l不存在最大值
綜上所述，當x₀>3時，點的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x₀-1）；當2<x₀≤3時，點的“相關弦”的弦長中不存在最大值。