Question

如圖所示，平面∥平面，點(diǎn)A∈，C∈，點(diǎn)B∈，D∈,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.
（1）求證：EF∥;
（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，
求EF的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明略（2）EF=或EF=

（1） ①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，


由∥，平面∩平面ABDC=AC，
平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，                   2分
∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF,BD,∴EF∥.                     4分
②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，
設(shè)平面ACD∩=DH，且DH=AC.
∵∥，∩平面ACDH=AC，
∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，             6分
在A(yíng)H上取一點(diǎn)G，使AG∶GH=CF∶FD，
又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.
∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥.         8分
（2）解 如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.
∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME=BD=3，MF=AC=2，
∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），
∴∠EMF=60°或120°，                         12分
∴在△EFM中由余弦定理得，
EF=
==，
即EF=或EF=.                                16分