Question

一個(gè)三棱錐S-ABC的三視圖、直觀圖如圖．
（1）求三棱錐S-ABC的體積；
（2）求點(diǎn)C到平面SAB的距離；
（3）求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中的三視圖，我們可以判斷出已知三棱錐B在平面SAC上的正投影為AC的中點(diǎn)D，點(diǎn)S在平面ABC上的正投影為DC的中點(diǎn)O，進(jìn)而我們求出底面ABC的面積和高SO的長(zhǎng)，代入棱錐體積公式即可得到答案．
（2）解法一：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O且平行于BD的直線為y軸，OS為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出面SAB的一個(gè)法向量，代入公式，即可求出點(diǎn)C到平面SAB的距離；
解法二：設(shè)點(diǎn)C到平面SAB的距離為d，由三棱錐S-ABC的體積，即可得到點(diǎn)C到平面SAB的距離；
（3）解法一：求出平面ABC一個(gè)法向量，結(jié)合（2）中面SAB的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角S-AB-C的余弦值．
解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，則OE⊥AB，連接SE，因OE是SE在底面ABC內(nèi)的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO為二面角S-AB-C的平面角．解Rt△SEO即可得到到二面角S-AB-C的余弦值．
解答：解：（1）由正視圖、俯視圖知AC=4；
由正視圖、側(cè)視圖知，點(diǎn)B在平面SAC上的正投影為AC的中點(diǎn)D，則BD=3，BD⊥平面SAC，BD⊥AC；
由俯視圖、側(cè)視圖知，點(diǎn)S在平面ABC上的正投影為DC的中點(diǎn)O，
則SO=2，SO⊥平面ABC，SO⊥AC．如圖．
三棱錐S-ABC的體積．
（2）解法一：
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過(guò)O且平行于BD的直線為y軸，OS為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，可求S（0，0，2）A（3，0，0）B（1，3，0），，
設(shè)是平面SAB的一個(gè)法向量，則，取，
可知，設(shè)點(diǎn)C到平面SAB的距離為d，
則．
（2）解法二：可求，，，
△SAB的面積，
設(shè)點(diǎn)C到平面SAB的距離為d，
由三棱錐S-ABC的體積，
得．
（3）解法一：可知是平面ABC一個(gè)法向量，故，
二面角S-AB-C的余弦值為．
（3）解法二：作CH⊥AB于H，作OE∥CH交AB于E，則OE⊥AB，
連接SE，因OE是SE在底面ABC內(nèi)的射影，而OE⊥AB，故SE⊥AB，∠SEO為二面角S-AB-C的平面角．
△ABC中，易求，
由△ABC的面積，，，
△AEO與△AHC相似，相似比為AO：AC=3：4，故，Rt△SEO中，，
故，二面角S-AB-C的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，點(diǎn)到平面的距離公式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知的三視圖判斷出幾何體的形狀及底面棱長(zhǎng)，高等關(guān)鍵的幾何量，（2）（3）的解法一（向量法）關(guān)鍵是要建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，熟練掌握向量法求距離和夾角的公式．