Question

已知函數(shù)f（x）=log₃

1+x

1-x

（0≤x≤

1

2

）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=[f（x）]²-a•f（x）+1的最小值為-

a

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=log₃

1+x

1-x

（0≤x≤

1

2

）．把分子變形，利用不等式的性質(zhì)求解運(yùn)算．（2）換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)分類(lèi)討論，令f（x）=t，t∈[0，1]，
函數(shù)y=[f（x）]²-af（x）+1=t²-at+1=（t-

a

2

）²+1-

a2

4

．

解答： 解：（1）

1+x

1-x

=

-(1-x)+2

1-x

=-1+

2

1-x

                   
∵x∈[0，

1

2

]，∴1-x∈[

1

2

，1]，

2

1-x

∈[2，4]，∴

1+x

1-x

∈[1，3]
∴l(xiāng)og

1+x 1-x 3

∈[0，1]，即所求值域?yàn)閇0，1]．                     
（2）令f（x）=t，t∈[0，1]，
函數(shù)y=[f（x）]²-af（x）+1=t²-at+1=（t-

a

2

）²+1-

a2

4

．   
設(shè)函數(shù)y=[f（x）]²-a-f（x）+1的最小值為g（a），
1若a≤0，則當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取到最小值g（a）=1，
由-

a

2

=1，得a=-2；                               
2若0＜a＜2，則當(dāng)t=

a

2

時(shí)，函數(shù)取到最小值g（a）=1-

a2

4

，
由-

a

2

=1-

a2

4

，得a=1±

5

（舍）；                
3若a≥2，則當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取到最小值g（a）=2-a，
由-

a

2

=2-a，解得a=4．                          
綜上可得：a=-2或a=4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式性質(zhì)，分類(lèi)討論的思想，換元法求解，難度較大，復(fù)雜運(yùn)算．