已知函數(shù),
(其中
).
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,求正實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求證:當(dāng)
時,
.(說明:e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
(Ⅰ)極小值為,無極大值(Ⅱ)
(Ⅲ)問題等價于
.由(Ⅰ)知
的最小值為
.設(shè)
,
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.∴
,
∵=
,∴
,∴
,故當(dāng)
時,
【解析】
試題分析:(Ⅰ),
∴(
,
),
由,得
,由
,得
,
故函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)的極小值為
,無極大值. 4分
(Ⅱ)函數(shù),
則,
令,∵
,解得
,或
(舍去),
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增.
函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,
只需即
∴
故實數(shù)a的取值范圍是. 9分
(Ⅲ)問題等價于.由(Ⅰ)知
的最小值為
.
設(shè),
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
∴,
∵=
,
∴,∴
,故當(dāng)
時,
. 14分
考點:函數(shù)極值最值
點評:求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二問將函數(shù)存在零點轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍,第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)常考到的
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)求ω的取值范圍;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,a=,b+c=3(b>c),當(dāng)ω最大時,f(A)=1,求邊b,c的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省五校聯(lián)盟高三下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知,函數(shù)
,
,(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),為常數(shù)),
(1)當(dāng)時,求
的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)是否存在實數(shù),使得
的最小值為3. 若存在,求出
的值,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù),
.(其中
為自然對數(shù)的底數(shù)),
(Ⅰ)設(shè)曲線在
處的切線與直線
垂直,求
的值;
(Ⅱ)若對于任意實數(shù)≥0,
恒成立,試確定實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時,是否存在實數(shù)
,使曲線C:
在點
處的切線與軸垂直?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
.(14分)已知函數(shù),
,其中
(Ⅰ)若是函數(shù)
的極值點,求實數(shù)
的值
(Ⅱ)若對任意的(
為自然對數(shù)的底數(shù))都有
≥
成立,求實數(shù)
的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆云南省高一期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知函數(shù),
(其中
)的周期為π,且圖象上一個最低點為
。
(1)求的解析式;
(2)當(dāng)時,求
的最值
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