Question

11．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N^*，λ＞0），且a₁，a₂+2，a₃+3成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）令b_n=（-1）ⁿlog₂a_n•log₂a_n+1，求數列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數列遞推式結合a₁，a₂+2，a₃+3成等差數列求得λ值，進一步可得數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，則數列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式代入b_n=（-1）ⁿlog₂a_n•log₂a_n+1，然后利用數列的分組求和得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=λS_n+1，
∴a₂=λa₁+1=1+λ，
由${a}_{3}=λ{S}_{2}+1=λ（{a}_{1}+{a}_{2}）+1=（1+λ）^{2}$，
a₁，a₂+2，a₃+3成等差數列，
得2（a₂+2）=a₁+a₃+3．
∴2（1+λ+2）=1+（1+λ）²+3，解得λ²=1．
由λ＞0，得λ=1，
∴a_n+1=S_n+1，①
n≥2時，a_n=S_n-1+1，②
①-②得：a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
n≥2時，a_n+1=2a_n，③
又∵a₂=1+λ=2，a₁=1，∴a₂=2a₁，
∴n=1時，③式也成立，
故數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{n}={2}^{n-1}$．
∴$_{n}=（-1）^{n}lo{g}_{2}{2}^{n-1}•lo{g}_{2}{2}^{n}=（-1）^{n}n（n-1）=（-1）^{n}（{n}^{2}-n）$，
則$_{2n}+_{2n-1}=（2n）^{2}-2n-（2n-1）^{2}+2n-1$=4n-2．
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n
=2+6+10+…+（4n-2）
=$\frac{n（2+4n-2）}{2}=2{n}^{2}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等比數列通項公式的求法，訓練了數列的分組求和，屬中檔題．