Question

（本小題共13分）已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)在處取得最大值，求．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112549646773410_DA.files/image002.png">且，所以．

所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．                  …………6分

（Ⅱ）由題意.

則.    …………8分

令，即. ①

由于 ，可設(shè)方程①的兩個(gè)根為，，

由①得，

由于所以，不妨設(shè)，

．

當(dāng)時(shí)，為極小值，

所以在區(qū)間上，在或處取得最大值；

當(dāng)≥時(shí)，由于在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，

綜上，函數(shù)只能在或處取得最大值．      …………10分

又已知在處取得最大值，所以≥，

即≥，解得≤，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112549646773410_DA.files/image002.png">，

所以（］．                                      ………13分

【解析】本題考查函數(shù)的最值、極值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)性質(zhì)的解題能力。解題時(shí)須注意求導(dǎo)的準(zhǔn)確性和明確函數(shù)的定義域；求解函數(shù)的最值，一般思路是明確函數(shù)的定義域，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再給定的區(qū)間上判斷函數(shù)的最值。本題的第一問按照函數(shù)遞增的等價(jià)性進(jìn)行證明；第二問中利用函數(shù)的最值情形，根據(jù)分類討論思想討論的取值范圍.