已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式，其中a是大于零的常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，試確定實數(shù)a的取值范圍．

解：（1），
因為a＞0，故當(dāng)a＞1時，定義域為（-1，+∞）；
當(dāng)a=1時，定義域為（-1，0）∪（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時，定義域為．
（2）令，
當(dāng)a∈（1，4）時，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．
故f（x）的最小值為．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即，又x∈[0，+∞），
則a＞（2-x）（x+1），a＞-x2+x+2恒成立，故a＞2．
分析：（1）、函數(shù)f（x）的定義域要求），解這個分式不等式時，因為含有參數(shù)a，所以要分類討論．
（2）、令，當(dāng)a∈（1，4）時，由函數(shù)f（x）的定義域可知x+1＞0，從而利用均值不等式求出函數(shù)f（x）的最小值．
（3）、由題設(shè)條件可知，，能推導(dǎo)出a＞（2-x）（x+1）恒成立，從而推導(dǎo)出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題是對數(shù)函數(shù)的綜合題，難度較大，在解第（1）題時要注意對參數(shù)a進行妥類討論，解第（2）題時要注意均值不等式的合理運用，解第（3）題時要進行合理轉(zhuǎn)化．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)（其中A、B、是實數(shù)，且）的最小正周期是2，且當(dāng)時，取得最大值2；

  （1）、求函數(shù)的表達式；

  （2）、在閉區(qū)間上是否存在的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸的方程，

        若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江西省七校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a>0.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數(shù)a的值；

（Ⅲ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對的底數(shù)）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省泉州市晉江市季延中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)沖刺試卷06（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中a＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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