Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E分別是AB，BB₁的中點.

（Ⅰ）證明： BC₁//平面A₁CD;

（Ⅱ）設AA₁= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A₁DE的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）連結，交于點F，連結DO，則F為的中點，

因為D為AB的中點，所以FD∥，

又因為FD平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以⊥CD，由已知AC=CB，

D為AB的中點，所以CD⊥AB，又，

于是CD⊥平面，即CD是三棱錐C一A₁DE的高，

由AA₁= AC=CB=2，AB=2得，，CD=，，，，

故，即DE⊥，所以.

本題第（Ⅰ）問，以直三棱為載體，證明空間的線面平行，可以應用線面平行的判定定理，一般情況下，遇到中點想中位線的思想要用上，同時用上側面為平行四邊形的條件;第（Ⅱ）問,求三棱錐的體積，可以證明CD⊥平面，即CD是此三棱錐的高，底面為直角三角形，從而可求出結果.對第（Ⅰ）問，證明線面平行時,容易漏掉條件平面；對第（Ⅱ）問，注意步驟，必須先證明哪個是三棱錐的高，然后再分步求出高與底面積，代入體積公式求出結果.

【考點定位】本小題以直三棱柱為載體，主要考查空間中的直線與直線、直線與平面位置關系的證明、三棱錐體積的求解，考查化歸與轉化思想，考查空間想象能力、分析問題與解決問題的能力.