Question

（2010•馬鞍山模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．
（1）設(shè)f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

2x

1+x2

+a，根據(jù)x=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，再對(duì)a進(jìn)行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，進(jìn)而可證得結(jié)論．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a，
因?yàn)閤=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（0）=0，
∴a=0
此時(shí)f′(x)=

2x

1+x2

，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（4分）
（2）因?yàn)?span id="fjrjx7l" class="MathJye">f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

2x

1+x2

∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②當(dāng)

a＜0 △≤0

即當(dāng)a≤-1時(shí)，f'（x）≤0對(duì)x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
∴f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上單調(diào)遞增，
同理得，f（x）在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上單調(diào)遞減；…（9分）
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x²）＜x…（10分）
從而有：ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)．