Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）、若x=1是y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）、若曲線y=f（x）與x軸有3個(gè)不同交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，得到的導(dǎo)函數(shù)值為0，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a(bǔ)的值代入到f（x）及導(dǎo)函數(shù)中，分別確定出f（x）和導(dǎo)函數(shù)得解析式，把x=2代入f（x）中求出f（2）即為切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，把x=2代入到導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，由切點(diǎn)與斜率寫(xiě)出切線方程即可；
（2）令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值與極小值，要使函數(shù)圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即要極小值小于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵x=1是y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′（1）=3a-3=0，∴a=1，
∴f(x)=x3-

3

2

x2+1(x∈R)，f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=2³-

3

2

×2²+1=3，f′（2）=3×2²-3×2=6，
∴在點(diǎn)（2，3）處的切線方程為y-3=6（x-2），即6x-y-9=0；
（2）設(shè)f′（x）=3ax²-3x＜0，則0＜x＜

1

a

，
設(shè)f′（x）=3ax²-3x＞0，則x＜0或x＞

1

a

，
故y=f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值為1，當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（x）有極小值為1-

1

2a2

，
要使圖象與x軸有3個(gè)不同交點(diǎn)，則1-

1

2a2

＜0，∴0＜a＜

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過(guò)某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．要求學(xué)生理解切點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為切線方程的斜率，及導(dǎo)函數(shù)得正負(fù)決定函數(shù)的增減性．