Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為1，前n項和S_n滿足

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2）．
（Ⅰ）求S_n與數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求使不等式b₁+b₂+…+b_n＞

12

25

成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，判斷

Sn

是等比數(shù)列，求出通項公式，然后求S_n與數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），通過裂項法求使不等式b₁+b₂+…+b_n，然后解不等式，即可求出不等式成立的最小正整數(shù)n．

解答： 解：（Ⅰ）因為

Sn

=

Sn-1

+1（n≥2），
所以

Sn

是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，…（1分）
則

Sn

=1+（n-1）1=n，…（2分）
從而S_n=n²．…（3分）
當n=1時，a₁=S₁=1，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
因為a₁=1也符合上式，
所以a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（8分）
所以b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（10分）
由

n

2n+1

＞

12

25

，解得n＞12．…（12分）
所以使不等式成立的最小正整數(shù)為13．…（13分）

點評：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想