Question

已知點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足，記動點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直線y=kx+1與曲線W交于不同的兩點C，D，若存在點M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，點P到兩定點A、B的距離之和為定值，且此值大于兩定點間的距離2，由橢圓定義可知動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為的橢圓，從而寫出W的標準方程
（Ⅱ）先將直線方程與曲線W的方程聯立，得關于x的一元二次方程，利用韋達定理，寫出交點C、D的橫坐標的和與積，再求出線段CD的中垂線的方程，此直線與x軸的交點即為M，從而得m關于k的函數，求函數值域即可
解答：解：（Ⅰ）∵＞|AB|=2
∴由橢圓的定義可知，動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為的橢圓．
∴c=1，，b²=2．
∴W的方程是．          
（Ⅱ）設C，D兩點坐標分別為C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），C，D中點為N（x，y）．
由得 （3k²+2）x²+6kx-3=0．
∵△=36k²+12（3k²+2）＞0
∴，
∴，從而．
∴線段CD的中垂線的方程為y-y=-（x-x）
即y-=-（x+）
令y=0，得x=-
∵存在點M（m，0），使得|CM|=|DM|
∴m=
當k=0時，m=0
當k＞0時，≥-=-
即m
當k＜0時，≤=
即m

∴m∪{0}=．
故所求m的取范圍是．
點評：本題考查了橢圓的定義及橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，特別是直線與橢圓相交時，利用韋達定理設而不求的技巧解決幾何問題，是本題考查的重點