Question

(14分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）D是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，D到直線的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：(I) B（x₀，0）,根據(jù)，且,可得,

據(jù)此可得，所以離心率.

(II)在（I）的基礎(chǔ)上由離心率可知,可用a表示△的外接圓圓心和半徑，再根據(jù)

圓心到直線的距離為，建立關(guān)于a的方程求出a的值，橢圓方程為.

(III)直線方程與橢圓方程聯(lián)立消y得,下一步解題的關(guān)鍵是把借助韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于k,m的方程，從而可用k表示m,再利用函數(shù)的方法求出m的取值范圍.

（Ⅰ）設(shè)B（x₀，0），由（c，0），A（0，b），

    知 

，

    由于 即為中點(diǎn)．

    故

，  

故橢圓的離心率 

（Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B，

    △的外接圓圓心為（，0），半徑r=||=,

D到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，

所以，解得=2，∴c =1，b=，

所求橢圓方程為.                         ------------------8分

（Ⅲ）由（2）知, ：

               代入得  

    設(shè)，

    則，     ------------------10分

   

    由于菱形對角線垂直，則

    故,則

                   ------------------12分

    由已知條件知且 

    

    故存在滿足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是．------------------14分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系，

向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)最值.

點(diǎn)評：本題屬于綜合性很強(qiáng)的題目，難度大，思維量大，只要掌握好橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及有關(guān)性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)最值的求法等基礎(chǔ)知識，還必須有較強(qiáng)的計(jì)算能力才能根本解決此類問題.