Question

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，

底面

（1）證明：平面平面;

（2）若二面角大小為，求與平面所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所給數(shù)值，滿足勾股定理，所以，,又根據(jù)底面，易證,所以面,然后根據(jù)面面垂直的判定定理，面,即證兩面垂直;

（2） ∠即為二面角的平面角，即∠根據(jù)已知兩兩垂直，所以可以以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為,利用公式

（1）∵ ∴

又∵⊥底面 ∴

又∵ ∴平面

而平面 ∴平面平面 4分

（2）由（1）所證，平面 ,所以∠即為二面角的平面角，即∠

而，所以

因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719224048823344/SYS201411171922530199774072_DA/SYS201411171922530199774072_DA.034.png">為平行四邊形，所以,

分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，， ,

所以，，，,

設(shè)平面的法向量為，則即

令則

∴與平面所成角的正弦值為 12分

考點(diǎn)：1.面面垂直的判定定理；2.空間向量解決線面角.