Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求實數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可求得，進而得到函數(shù)解析式，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點的存在性定理建立不等式即可求解．

（1）函數(shù)的定義域為，

，

則，所以，

此時，定義域為，，

令，解得；令，解得；

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線.

由（1）知，

1）當(dāng)時，對任意，，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時對任意，都有成立，從而函數(shù)在區(qū)間上無零點；

2）當(dāng)時，令，得或，其中，

①若，即，則對任意，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意得，且，解得，其中，即，

所以的取值范圍是；

②若，即，則對任意，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時對任意，都有成立，從而函數(shù)在區(qū)間上無零點；

③若，即，則對任意，；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，對任意，都有成立；

對任意，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意得

，解得，

其中，即，

所以的取值范圍是.

綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.