Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），且a、b、c成等比數(shù)列．
（1）求隨圓c的離心率e；
（2）若P為橢圓c上一點，是否存在過點F₂、P的直線l，使l與y軸的交點Q滿足

PQ

=2

PF2

？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)b²=ac及b²=a²-c²，由此能求出橢圓的離心率e的值．
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l的方程為：y=k（x-c），易求Q點坐標，由

PQ

=2

PF2

可得P點坐標，把P點坐標代入橢圓方程，借助離心率可得k的方程，易判斷該方程解的情況；

解答：（1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
且a，b，c成等比數(shù)列．
∴b²=ac及b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，兩邊同除以a²，得
e=1-e²，
解得e=

5 -1

2

，e=

- 5 -1

2

（舍）．
∴e=

5 -1

2

；
（2）不存在滿足題意的直線l，理由如下：
若存在，該直線必有斜率，設(shè)l的方程為：y=k（x-c），
令x=0，得y=-ck，故Q（0，-ck），
由

PQ

=2

PF2

，知F₂為P、Q的中點，則P（2c，ck），
把點P坐標代入橢圓方程，得

4c2

a2

+

c2k2

b2

=1①，
由（1）知，

c2

a2

=(

5 -1

2

)2=

3- 5

2

，

c2

b2

=

c2

a2-c2

=

e2

1-e2

=

5 -1

2

，
∴①可化為4×

3- 5

2

+

5 -1

2

k²=1，即

5 -1

2

k²=2

5

-5＜0，無解，
故不存在這樣的直線l．

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生分析問題解決問題的能力，本題具有一定的開放性，給學生提供了開放的思維空間．