Question

已知f（x）=|sinx|（x≥0），y=g（x）是過原點(diǎn)且與y=f（x）圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)的直線，這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0，α，β（0＜α＜β），那么下列結(jié)論中正確的有

 

．（填正確結(jié)論的序號(hào)）
①f（x）-g（x）≤0的解集為[α，+∞）；
②y=f（x）-g（x）在（

π

2

，α）上單減；
③αsinβ+βsinα=0
④當(dāng)x=π時(shí)，y=f（x）-g（x）取得最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：畫出f（x）=|sinx|（x≥0），的圖象，過原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，則直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)的圖象相切，由圖象可知，

π

2

＜α＜π，π＜β＜

3π

2

，
故由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（β，-sinβ），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，得β=tanβ．即直線y=-cosβ•x，
對(duì)于①，f（x）-g（x）≤0的解集，由圖象可知；對(duì)于②，在（

π

2

，α）上，求出導(dǎo)數(shù)，即可判斷；
對(duì)于③，由β=tanβ和sinα=-cosβ•α，即可判斷；對(duì)于④，由②知，當(dāng)x=α?xí)r，y=f（x）-g（x）取得最小值．

解答： 解：畫出f（x）=|sinx|（x≥0），的圖象，
∵過原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，
∴直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)的圖象相切，
在區(qū)間（π，2π）上，f（x）的解析式為y=-sinx，且

π

2

＜α＜π，π＜β＜

3π

2

，
故由題意設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（β，-sinβ），∴切線斜率k=y′=-cosx|_x=β=-cosβ，
∴由點(diǎn)斜式得切線方程為：y+sinβ=-cosβ（x-β），∴y=-cosβ•x+βcosβ-sinβ，
∵直線過原點(diǎn)，∴βcosβ-sinβ=0，得β=tanβ．即直線y=-cosβ•x，
對(duì)于①，f（x）-g（x）≤0的解集，由圖象可知為[α，+∞），故①對(duì)；
對(duì)于②，在（

π

2

，α）上，y=sinx+cosβ•x，y′=cosx+cosβ＜0，故②對(duì)；
對(duì)于③，由sinα=-cosβ•α，αsinβ+βsinα=αsinβ-αβcosβ=αsinβ-αtanβcosβ
=αsinβ-αsinβ=0，故③對(duì)；
對(duì)于④，由②知，當(dāng)x=α?xí)r，y=f（x）-g（x）取得最小值，故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的圖象，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．