Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

），x∈R
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；
（II）當x∈[-

π

12

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的正弦余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，再利用二倍角公式，化簡為sin（2x-

π

6

），結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，以及對稱軸方程；
（II）根據(jù)x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出2x-

π

6

的范圍，求出sin（2x-

π

6

）的最值即可求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）．
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin（2x-

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

kπ+

π

3

]，k∈Z
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，因為f（x）=sin（2x-

π

6

）
在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

]上單調(diào)遞增．在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]單調(diào)遞減，所以當x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，當x=-

π

12

時，f（x）取最小值-

3

2

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題是基礎題，考查三角函數(shù)式的化簡求值，三角函數(shù)的基本性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，是解好三角函數(shù)問題的關(guān)鍵．