Question

已知△ABC的面積為S，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑等于

 

．

Answer 1

分析：設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為I，內(nèi)切圓半徑為r，則I與AB、BC、CA分別構(gòu)成一個(gè)高等于r的三角形，這三個(gè)三角形的面積之和等于△ABC的面積S，由此利用三角形面積公式列式解出用a、b、c、S表示r的式子，可得答案．

解答：解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為I，內(nèi)切圓與AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為F、D、E，連結(jié)AI、BI、CI、DI、EI、FI．
則ID、IE、IF分別是△IBC、△ICA、△IAB的高，
且ID=IE=IF=r（r為內(nèi)切圓半徑）．
∴S_△IBC=

1

2

BC•ID=

1

2

ar，S_△ICA=

1

2

CA•IE=

1

2

br，S_△IAB=

1

2

AB•IF=

1

2

cr．
∵S_△IBC+S_△ICA+S_△IAB=S_△ABC=S，
∴

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=S，即

1

2

（a+b+c）r=S，
解得r=

2S

a+b+c

．
即△ABC的內(nèi)切圓的半徑等于

2S

a+b+c

．
故答案為：

2S

a+b+c

點(diǎn)評(píng)：本題已知三角形的三條邊長(zhǎng)與面積，求三角形的內(nèi)切圓半徑大小．著重考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)，考查了等積轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．