Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，設b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n；
（3）若C_n≤

1

4

m2+m-1對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得a_n，代入bn+2=3log

1

4

an求得b_n+1-b_n為常數(shù)，進而判斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由（1）可分別求得a_n和b_n，進而求得C_n進而用錯位相減法進行求和．
（3）把（2）中的C_n，代入C_n+1-C_n結(jié)果小于0，進而判斷出當n≥2時，C_n+1＜C_n，進而可推斷出當n=1時，C_n取最大值，問題轉(zhuǎn)化為

1

4

m2+m-1≥

1

4

，求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知，a_n=（

1

4

）ⁿ．
∵bn+2=3log

1

4

an，b1+2=3log

1

4

a1
∴b₁=1
∴b_n+1-b_n=3log

1

4

a_n+1=3log

1

4

a_n=3log

1

4

an+1

a n

=3log

1

4

q=3
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ．b_n=3n-2
∴C_n=（3n-2）×（

1

4

）ⁿ．
∴S_n=1×

1

4

+4×（

1

4

）²+…+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ，
于是

1

4

S_n=1×（

1

4

）²+4×（

1

4

）³+…（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
兩式相減得

3

4

S_n=

1

4

+3×[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ）-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
=

1

2

-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=

2

3

-

12n+8

3

×（

1

4

）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ=9（1-n）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴當n=1時，C₂=C₁=

1

4

當n≥2時，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n
∴當n=1時，C_n取最大值是

1

4

又Cn≤

1

4

m2+m-1
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項法求和，解不等式等問題．